2025-06-26 Funktionen mehrerer Veränderlicher

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.14.0%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22medium%22)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20plotly.express%20as%20px%0A%20%20%20%20import%20plotly.graph_objects%20as%20go%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20return%20go%2C%20mo%2C%20np%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%20Beispiele%20zu%20Funktionen%20mehrer%20Ver%C3%A4nderlicher%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(go%2C%20mo%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20_d%20%3D%201%0A%20%20%20%20_x%2C%20_y%20%3D%20np.mgrid%5B-_d%3A_d%3A100j%2C%20-_d%3A_d%3A100j%5D%0A%20%20%20%20_z%20%3D%20_x**2%20%2B%20_y**2%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22Die%20Funktion%20%24f(x%2Cy)%20%3D%20x%5E2%2By%5E2%24%20(Norm-zum-Quadrat)%20auf%20der%20Menge%20%24D%20%3D%20(%7B-_d%7D%2C%7B_d%7D)%5Ctimes(%7B-_d%7D%2C%7B_d%7D)%24%20hat%20ein%20lokales%20Minimum%20bei%20%24(x%2Cy)%20%3D%20(0%2C0)%24.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20go.Figure(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20data%3D%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20go.Surface(x%3D_x%2C%20y%3D_y%2C%20z%3D_z%2C%20colorbar%3DNone)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(go%2C%20mo%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20_d%20%3D%201%0A%20%20%20%20_x%2C%20_y%20%3D%20np.mgrid%5B-_d%3A_d%3A100j%2C%20-_d%3A_d%3A100j%5D%0A%20%20%20%20_z%20%3D%20_x%20*%20_y%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Die%20Funktion%20%24f(x%2Cy)%20%3D%20xy%24%20hat%20einen%20Sattelpunkt%20an%20der%20Stelle%20%24(x%2Cy)%3D(0%2C0)%24.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20go.Figure(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20data%3D%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20go.Surface(x%3D_x%2C%20y%3D_y%2C%20z%3D_z%2C%20colorbar%3DNone)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(go%2C%20mo%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20_d%20%3D%201%0A%20%20%20%20_x%2C%20_y%20%3D%20np.mgrid%5B-_d%3A_d%3A300j%2C%20-_d%3A_d%3A300j%5D%0A%20%20%20%20_z%20%3D%202%20*%20_x%20*%20_y%20%2F%20(_x**2%20%2B%20_y**2)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r'Die%20Funktion%20%24f(x%2Cy)%20%3D%20%5Cfrac%7B2xy%7D%7Bx%5E2%2By%5E2%7D%24%20kann%20an%20der%20Stelle%20%24(0%2C0)%24%20nicht%20stetig%20fortgesetzt%20werden.%20Aus%20technischen%20Gr%C3%BCnden%20sieht%20man%20beim%20Hineinzoomen%20eventuell%20%22Zacken%22%20in%20der%20Umgebung%20der%20Unstetigkeitsstelle.'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20go.Figure(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20data%3D%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20go.Surface(x%3D_x%2C%20y%3D_y%2C%20z%3D_z%2C%20colorbar%3DNone)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(go%2C%20mo%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20def%20plot_function_with_section(d%3A%20float%20%3D%201)%20-%3E%20go.Figure%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Plot%20the%20function%20f(x%2Cy)%20%3D%20x%5E2%20%2B%20xy%20and%20add%20a%20sectional%20plot%20along%20the%20line%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(1%2C2)%20%2B%20t*(1%2Fsqrt(2)%2C%201%2Fsqrt(2)).%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x%2C%20_y%20%3D%20np.mgrid%5B-d%3Ad%3A300j%2C%20-d%3Ad%3A300j%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_z%20%3D%20_x**2%20%2B%20_x%20*%20_y%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Parametric%20line%20(1%2C2)%20%2B%20t*(1%2C1)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20t_values%20%3D%20np.linspace(-5%2C%201%2C%20300)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20line_x%20%3D%201%20%2B%20t_values%20%2F%20np.sqrt(2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20line_y%20%3D%202%20%2B%20t_values%20%2F%20np.sqrt(2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20line_z%20%3D%20line_x**2%20%2B%20line_x%20*%20line_y%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fig%20%3D%20go.Figure(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20data%3D%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20go.Surface(x%3D_x%2C%20y%3D_y%2C%20z%3D_z%2C%20colorbar%3DNone)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter3d(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dline_x%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dline_y%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20z%3Dline_z%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22red%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20fig%0A%0A%0A%20%20%20%20%23%20_t%20%3D%20np.linspace(-1%2C%201%2C%20200)%0A%20%20%20%20%23%20_x%20%3D%20np.array(%5B1%20%2B%20t%20%2F%20np.sqrt(2)%20for%20t%20in%20_t%5D)%0A%20%20%20%20%23%20_y%20%3D%20np.array(%5B1%20%2B%20t%20%2F%20np.sqrt(2)%20for%20t%20in%20_t%5D)%0A%20%20%20%20%23%20_z%20%3D%20_x**2%20%2B%20_x%20*%20_y%0A%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22Die%20Funktion%20%24f(x%2Cy)%20%3D%20x%5E2%20%2B%20xy%24%20und%20die%20Funktion%20%24g%5Ccolon%5Cmathbb%7BR%7D%5Cto%5Cmathbb%7BR%7D%24%20mit%20der%20wir%20die%20Richtungsableitung%20eingef%C3%BChrt%20haben%2C%20%24g(t)%20%3D%20f%5Cbigg(%20(1%2C2)%20%2B%20t%20%5Cbig(%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt2%7D%2C%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt2%7D%5Cbig)%20%5Cbigg)%24.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20plot_function_with_section(d%3D2)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20px.line(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%20%20%20%20x%3D_t%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%20%20%20%20y%3D_z%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%20%20%20%20labels%3D%7B%22x%22%3A%22%24t%24%22%2C%20%22y%22%3A%22%24g(t)%24%22%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20).show()%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(go%2C%20mo%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20_x%2C%20_y%20%3D%20np.mgrid%5B-1%3A3%3A100j%2C%20-4%3A1%3A100j%5D%0A%20%20%20%20_z%20%3D%20_x%20*%20_y%20*%20(_x%20-%202)%20*%20(_y%20%2B%203)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Die%20Funktion%20%24f(x%2Cy)%20%3D%20xy(x-2)(y%2B3)%24%20hat%20ein%20lokales%20Maximum%20umgeben%20von%20vier%20Sattelpunkten.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20go.Figure(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20data%3D%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20go.Surface(x%3D_x%2C%20y%3D_y%2C%20z%3D_z%2C%20colorbar%3DNone)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A